Bien qu'aucun de ses parents ne soit musicien, le jeune Isaac commence très tôt à étudier le piano si bien qu'à l'âge de quatre ans, il donne son premier concert à Barcelone au Théâtre Romea (es) et suscite une vive admiration. Des gens allèrent même jusqu'à vérifier derrière le rideau de la scène si un autre pianiste n'y était pas caché[réf. nécessaire].
Lorsqu'il a sept ans, le jeune prodige est amené à Paris par sa mère pour le faire admettre au Conservatoire. Il prend également des cours avec Antoine-François Marmontel mais l'enfant, considéré comme trop inattentif, est rapidement renvoyé ; il rentre en Espagne. En 1868, le Conservatoire de Madrid le reçoit, mais le jeune Isaac préfère se produire en concert et se livrer à des improvisations devant le public espagnol.
Quatre ans plus tard, alors qu'il n'a que douze ans, le jeune Albéniz quitte son pays natal et parcourt la côte atlantique américaine, de Rio à New York, pendant deux années. À son retour, il entreprend de courtes études au Conservatoire de Leipzig (pour deux mois) puis au Conservatoire de Bruxelles (il est l'élève de François-Auguste Gevaert), où il se fait remarquer par sa mauvaise conduite. Il y reste trois ans, jusqu'en 1879.
Grand voyageur, le jeune Albéniz fait, à Budapest cette fois, la rencontre de Franz Liszt en 1880. À partir de 1883, il se fixe à Barcelone et y épouse une ancienne élève, Rosina Jordana. À partir de cette année-là, le musicien fantasque se consacre pleinement à la composition et à l'éducation de ses quatre enfants.
D'abord installés à Londres, puis attirés par la vie musicale parisienne, les Albéniz se fixent dans la capitale française en 1893. C'est l'occasion pour Isaac de fréquenter des musiciens comme Vincent d'Indy, un des fondateurs de la Schola Cantorum. Albéniz eut pour un temps un poste de professeur dans la célèbre école, mais en 1900 il dut abandonner ce poste à cause de sa santé déficiente. La même année, il fut très affecté par la mort de sa mère.
Isaac Albéniz meurt le d'une affection rénale, à Cambo-les-Bains.
Il a été décoré de l'ordre de la Légion d'honneur1.
Albéniz est l'arrière-grand-père de Cécilia Attias, ancienne épouse de Jacques Martin et deuxième épouse divorcée de l'ancien président de la République française Nicolas Sarkozy.
Entre 1897 et 1904, il vit au no 49 de la rue Erlanger puis, entre 1906 et 1909, au no 55 de la rue de Boulainvilliers (16e arrondissement de Paris). Des plaques lui rendent hommage.